Primitiveren

Bijles wiskunde B VWO

Wanneer wordt integreren gebruikt?

Integraal

Integreren wordt gebruikt om onder andere de oppervlakte onder een grafiek te vinden. De integraal die hiervoor gebruikt wordt, ziet er als volgt uit:

schermafbeelding 2021 05 23 om 17.47.46
  • Gedifferentieerd: eerste afgeleide functie f’(x) van de oorspronkelijke functie f(x).
  • Geprimitiveerd: de primitieve functie F(x) van de oorspronkelijke functie f(x).

Een integraal van de functie f op het interval [a,b] is de som van alle waarden van , waarbij naar 0 nadert.  Het bereken van integralen kan met de volgende formule:

schermafbeelding 2021 05 23 om 17.49.50

Hierbij is f (x) de afgeleide van F (x). Het berekenen van F (x) noem je primitiveren, F (x) is hierbij de primitieve en f (x) de afgeleide.  Uit de differentieerregels kun je de volgende integreer regels afleiden: 

Constante regel

schermafbeelding 2021 05 23 om 17.54.42

De somregel

schermafbeelding 2021 05 23 om 18.02.31

De substitutieregel

schermafbeelding 2021 05 23 om 18.03.13

Welke vorm heeft een primitieve functie?

De primitieve van een functie van de vorm  heeft altijd de vorm De c is een constante. Doordat de afgeleide van een constant getal 0 is, moet je de c altijd bij de primitieve zetten.

Om te controleren of de primitieve  juist is kan je de afgeleide van de primitieve nemen, in dit geval kom je inderdaad op 

Als je een functie om de x-as of y-as wentelt heb je een driedimensionale inhoud, ook wel het omwentelingslichaam.

De standaardformule voor een wenteling om de x-as luidt als volgt:
schermafbeelding 2021 05 23 om 18.06.26

De standaardformule voor een wenteling om de y-as luidt als volgt:

schermafbeelding 2021 05 23 om 18.07.20

Voorbeeld:

Het deel van de grafiek van y = 10/x tussen x = 1 en x = 3 wordt gewenteld om de y-as. Daarbij ontstaat een soort vaas. Bereken de inhoud van deze vaas.

Stap 1: De y-coördinaten berekenen bij x=1 en x=3

Stap 2: Vul in de standaardformule

 
schermafbeelding 2021 05 23 om 18.10.44
schermafbeelding 2021 05 23 om 18.11.36