Differentiëren (afgeleide berekenen)
Bijles wiskunde B HAVO
Wat is differentiëren?
Differentiëren (oftewel de afgeleide berekenen) komt super veel voor in je wiskunde carrière op de middelbare school en het is belangrijk om deze vaardigheid goed onder de knie te hebben, daarom is het belangrijk hier veel mee te oefenen. Want het komt zeker terug in je toetsen en uiteindelijk je eindexamen.
Waarom moet je differentiëren?
Differentiëren en de afgeleide berekenen zijn twee begrippen voor hetzelfde principe. Als je een formule differentieert, dan bereken je de afgeleide. Dat is heel belangrijk, want je hebt het nodig om te bepalen of de grafiek in een bepaald punt stijgt, daalt of vlak is en hoe steil de helling van de grafiek is.
In de wiskunde is de afgeleide of het differentiaalquoti¨ent een maat voor verandering van een functie ten opzichte van verandering van zijn variabelen.
Voor een functie in ´e´en variabele is de afgeleide de limiet van de verhouding
tussen de verandering in de functiewaarde en de verandering in de variabele die daaraan ten grondslag ligt.
In feite berekenen we hiermee de stijlheid van de raaklijn aan de functie in het punt x.
Hoe vind je de afgeleide?
Voor de functie f(x) = x2 is de afgeleide makkelijk te bepalen
Welke regels zijn er om de afgeleide te vinden van bepaalde functies f(x)?
De belangrijkste regel voor het vinden van de afgeleide van een polynoom of machtsfucnctie, vinden we met
behulp van de differentiaalquotiënt. De algemene regel die ontstaat voor de functie f(x) = xn gaat als volgt:
Dit ziet er allemaal ingewikkeld uit, maar valt dus in de praktijk best wel mee. Wat je doet is de hele formule
vermenigvuldigen met de macht (dit is de n). Daarna haal je van de macht 1 af (dat is de (n-1). Een voorbeeld
is de functie f(x) = 5×3. De afgeleide is:
Deze regel valt ook te gebruiken als de macht negatief is, bijvoorbeeld bij de functie:
De afgeleide is:
Afgeleide van andere functies
Soms moet je de afgeleide vinden van andere functies, zoals bijvoorbeeld f(x) = sin(x). In principe zijn
alle functies om te schrijven tot een combinatie van machtsfuncties dan wel polynomen. Met behulp van
de differentiaalquoti¨ent zijn voor een reeks functies de afgeleide gevonden. Gelukkig hoef je alleen met deze
afgeleiden te kunnen werken, en niet zelf achterhalen met het differentiaalquoti¨ent. De belangrijkste functies
die je uit je hoofd moet leren staan hieronder weergegeven:
Welke regels zijn er?
Somregel:
Als je formule f(x) = g(x) + h(x) is, dan kun je de afgeleide vinden door f’(x) = g’(x) + h’(x) toe te passen. Je neemt dus de afgeleiden van de losse stukjes en telt deze bij elkaar op. Bijvoorbeeld: als f(x) = sin(x) + x2 , dan wordt f ‘(x) = cos(x) + 2x.
Productregel:
Soms wil je de afgeleide vinden van een functie die bestaat uit het product van twee functies, waarbij dus twee functies met elkaar vermenigvuldigd zijn. In dat geval moet je de productregel toepassen, voor f(x) = g(x)·h(x) geldt dan:
Quotiëntregel:
In de wiskunde is een quotiënt het resultaat van een deling. Een quotiënt wordt ook wel een rationeel getal genoemd. Bij rationele functies hebben we te maken met een functie die er uit ziet als volgt:
We mogen hierbij gebruik maken van de productregel in combinatie met het gelijkmaken van de noemer:
